Říha pochází z Opočna, kde se roku 1992 narodil. S hokejem začínal v severočeském Liberci, první start v dorostenecké extralize si připsal v sezoně 2007/08. Od následujícího ročníku již plnohodnotně patřil do sestavy Tygrů a dokonce v 32 utkáních zapsal 16 bodů. 

Nová sezona pro něj znamenala posun do další kategorie, tedy do juniorky. Za tu odehrál 21 zápasů, další porci zápasů nastupoval ještě za starší dorost. 

Premiéru mezi dospělými si v libereckém dresu odbyl v sezoně 2011/11. Jako mladý obránce poté dostal prostor rozehrát se v přidruženém celku Liberce - Benátkách nad Jizerou. 

Jeho kvalit si všimli i trenéři reprezentace do dvaceti let, za kterou Říha sehrál patnáct klání s bilancí 1+1.


Na severu Čech poté působil ještě čtyři roky. Zápasové vytížení rozdělil mezi Benátky a Liberec, většinou však byl k vidění v první lize. V dresu Tygrů se objevil pětadvacetkrát, přičemž jednou skóroval. 

Už poslední sezonu v Benátkách se mu bodově dařilo, explodoval však až po přestupu do Jihlavy. Na Vysočině se stal fenoménem. V ročníku 2016/17 překonal rekord v počtu branek a gólů mezi obránci. Během padesáti duelů stihl 44 bodů za 20 branek a 24 asistencí. Za své tak vzal rok starý rekord Brendona Nashe i střelecký rekord Pavla Bláhy.

Povedenou sezonu podtrhl jihlavským postupem do extraligy. A kdo jiný by mohl vstřelit rozhodující gól než Říha. "Podívejte se tady kolem. To je prostě neuvěřitelné," říkala při oslavách na Horáckém zimním stadioně jihlavská kometa. "Tohle jsme si přáli a dokázali to. A je to paráda."

Díky parádním výkonům se stěhoval do ambiciózní Mladé Boleslavi. V automobilovém městě však na povedený rok nedokázal navázat, zapsal pouze čtyři body za jeden gól a tři asistence. Loňské září se se tak přesunul do Kladna. 


V týmu Jaromíra Jágra dal vzpomenout na rekordmana z roku 2017. Potupně se rozstřílel a postupový ročník zakončil s 16 brankami a 11 asistencemi. 

V play off jej také čekala pikantní série proti Jihlavě. "Už jsem to párkrát říkal: my si soupeře prostě nemůžeme vybírat. Připadla nám Dukla. Je to pro mě zvláštní... ale tak to je. Jsme teď soupeři," vyjádřil se k bývalému zaměstnavateli Říha. 

Po postupu Kladna do extraligy využil nabídku Vervy. Litvínovským minulý rok přesilovka nefungovala podle představ a dlouho se poohlíželi po ofenzivním obránci s dobrou střelou. Přesně tyto atributy by měl přinést Říha. 

"Zatím se pořád rozkoukávám, jsem tu krátce. Je tady super parta," říkal šestadvacetiletý obránce po svém příchodu v rozhovoru pro klubové stránky. "Moc se těším. Doufám, že mi to tam bude padat i v Litvínově. Budu na tom pracovat," doplnil.

Doufejme, že to tam Jiřímu Říhovi bude opravdu padat a naváže na výborné prvoligové sezony.